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Hidalgo, Ruben A.

Zeros of semilinear systems with applications to nonlinear partial difference equations on graphs

TAYLOR & FRANCIS LTD

JOURNAL OF DIFFERENCE EQUATIONS AND APPLICATIONS

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Sea Q una matriz real m x m y f(j): R, j = 1, ..., m, algunas funciones dadas. Si x y f(x) son vectores columna cuyas coordenadas j son x(j) y f(j)(x(j)), respectivamente, entonces aplicamos la versión de dimensión finita del teorema del paso de montaña para proporcionar condiciones para la existencia de soluciones del sistema semilineal Qx = f(x) para Q simétrica y semidefinida positiva. Los argumentos que usamos son una simple adaptación de los utilizados por Neuberger. Una aplicación de lo anterior se refiere a ecuaciones en diferencias parciales en un grafo simple, conexo y finito. Una derivación de un grafo G es simplemente cualquier operador lineal D:C⁻⁰(G) -> C⁻⁰(G), donde C⁻⁰(G) es el espacio vectorial real de las aplicaciones reales definidas en el conjunto de vértices V del grafo. Dada una derivación D y una función F:V x R -> R, se asocia una ecuación de diferencias parciales D mu = F(v,mu), y se buscan soluciones mu es un elemento de C-0(G). Se proporcionan condiciones suficientes para tener soluciones no triviales de ecuaciones de diferencias parciales en cualquier grafo simple conexo finito para una derivación D simétrica y semidefinida positiva. Un grafo métrico (o ponderado) es un par (G, d), donde G es un grafo simple conexo de grado finito y d es una función positiva en el conjunto de aristas del grafo. La métrica d permite considerar algunas derivaciones clásicas, como el operador laplaciano Delta(2). En (Neuberger, Elliptic partial difference equations on graphs, Experiment. Math. 15 (2006), pp. 91-107) se consideraron las ecuaciones de diferencias parciales elípticas no lineales Delta(2)u = F(u), para la métrica d = 1.#Let Q be a m x m real matrix and f(j): R, j = 1, ..., m, be some given functions. If x and f(x) are column vectors whose j-coordinates are x(j) and f(j)(x(j)), respectively, then we apply the finite dimensional version of the mountain pass theorem to provide conditions for the existence of solutions of the semilinear system Qx = f(x) for Q symmetric and positive semi-definite. The arguments we use are a simple adaptation of the ones used by Neuberger. An application of the above concerns partial difference equations on a finite, connected simple graph. A derivation of a graph G is just any linear operator D:C-0(G) -> C-0(G), where C-0(G) is the real vector space of real maps defined on the vertex set V of the graph. Given a derivation D and a function F:V x R -> R, one has associated a partial difference equation D mu = F(v,mu), and one searches for solutions mu is an element of C-0(G). Sufficient conditions in order to have non-trivial solutions of partial difference equations on any finite, connected simple graph for D symmetric and positive semi-definite derivation are provided. A metric (or weighted) graph is a pair (G, d), where G is a connected finite degree simple graph and d is a positive function on the set of edges of the graph. The metric d permits to consider some classical derivations, such as the Laplacian operator Delta(2). In (Neuberger, Elliptic partial difference equations on graphs, Experiment. Math. 15 (2006), pp. 91-107) was considered the nonlinear elliptic partial difference equations Delta(2)u = F(u), for the metric d = 1.

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10.1080/10236190701883302

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