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Institucional

Hidalgo, Ruben A.

Maximal Schottky extension groups

SPRINGER

GEOMETRIAE DEDICATA

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Un grupo de extensión de Schottky es un grupo kleiniano K que contiene un grupo de Schottky G de rango g ≥ 2 como subgrupo normal. Es bien sabido que el índice de G en K es como máximo 12(g-1); si el índice es 12(g-1), decimos que K es un grupo de extensión de Schottky maximal. Se proporciona una descripción estructural de los grupos de extensión de Schottky maximales utilizando argumentos bidimensionales, internos a las superficies de Riemann y a los grupos kleinianos clásicos. Como consecuencia, recuperamos el resultado de Zimmermann, que establece que un grupo de extensión Schottky maximal es isomorfo a uno de los siguientes grupos: D(2) * Z(2) D(3), D(3) * Z(3) A(4), D(4) * Z(4) sigma(4), D(5) * Z(5) A(5), donde D(r) es el grupo diedral de orden 2(r), A(r) es el grupo alternante en r letras y sigma(4) es el grupo simétrico en 4 letras. Los métodos utilizados por Zimmermann pertenecen a la teoría combinatoria de grupos (extensiones finitas de grupos libres) y también a la dimensión tres, por lo que nuestros argumentos son diferentes.#A Schottky extension group is a Kleinian group K containing a Schottky group G of rank g >= 2 as a normal subgroup. It is well known that the index of G in K is at most 12(g-1); if the index is 12(g-1), then we say that K is a maximal Schottky extension group. A structural description of the maximal Schottky extension groups using 2-dimensional arguments, internal to Riemann surfaces and classical Kleinian groups in spirit, is provided. As a consequence, we re-obtain Zimmermann's result which states that a maximal Schottky extension group is isomorphic to one of the following groups D(2) *Z(2) D(3), D(3) *Z(3) A(4), D(4) *Z(4) sigma(4), D(5) *Z(5) A(5), where D(r) is the dihedral group of order 2(r), A(r) is the alternating group in r letters and sigma(4) is the symmetric group in 4 letters. The methods used by Zimmermann are from combinatorial group theory (finite extensions of free groups) and also dimension three, so our arguments are different.

Artículo original

Apoyado parcialmente por los proyectos Fondecyt 1070271 y UTFSM 12.09.02. En memoria de Ignacio Garijo.

10.1007/s10711-009-9430-x

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ANID CONICYT FONDECYT 1070271#UTSFM 120902

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